试题

如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；  
（2）求证：四边形OBEC是菱形．

解：（1）∵OA=OC=

1

2

AB=3，AC=3，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都是

AC

，
∴∠AEC=

1

2

∠AOC=30°；

（2）∵直线l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，
∴四边形OBCE为平行四边形，
又∵OB=OC，
∴四边形OBCE为菱形．
解：（1）∵OA=OC=

1

2

AB=3，AC=3，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都是

AC

，
∴∠AEC=

1

2

∠AOC=30°；

（2）∵直线l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，
∴四边形OBCE为平行四边形，
又∵OB=OC，
∴四边形OBCE为菱形．