试题

题目：
青果学院（2006·南充）如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA=
3
，则阴影部分的面积：S=
3
2
-
π
6
（或
3
3
-π
6
）
3
2
-
π
6
（或
3
3
-π
6
）
．
答案
3
2
-
π
6
（或
3
3
-π
6
）

青果学院解：连接OA，延长BO交圆于点E，则∠A=90°，
∵AP2=PB·PE，
∴PE=3，BE=PE-PB=3-1=2，
∴OB=OA=1，tanP=OA：PA=1：
3
，
∴∠P=30°，∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积=S△PAO-S扇形OAB=
1
2
×1×
3
-
60π×1
360
=
3
2
-
π
6
．
考点梳理
切线的性质；扇形面积的计算．
连接OA，延长BO交圆于点E，则∠A=90°，由切割线定理知AP2=PB·PE，即可求得圆的半径OB=OA=1，得到tanP=OA：PA=1：
3
，确定∠P，∠AOB的度数，所以阴影部分的面积=S△PAO-S扇形OAB，代入数值即可求值．
本题利用了切线的概念、直角三角形的性质、直角三角形的面积公式、扇形的面积公式、正切的概念求解．
压轴题．
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