试题

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，⊙O的直径BD为6，连结CD，AO．
（1）求证：CD∥AO；
（2）求CD·AO的值；
（3）若AO=2CD，求劣弧BC的长．

（1）证明：
连接OC，
∵AC、AB分别切⊙O于C、B，
∴∠ACO=∠ABO=90°，∠CAO=∠BAO，
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°，∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°，
∴∠COA=∠BOA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC，
∴2∠ODC=2∠AOB，
即∠D=∠AOB，
∴CD∥AO．

（2）解：
连接BC，
∵BD是⊙O直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∵∠D=∠AOB，
∴△BCD∽△ABO，
∴

DC

DB

=

BO

AO

，
∴CD·AO=DB·BO=6×3=18．


（3）解：∵CD·AO=18，AO=2CD，
∴CD=3，
∵OC=3=OD=3，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠COB=120°，
∴弧BC的长是

120π·3

180

=2π．
（1）证明：
连接OC，
∵AC、AB分别切⊙O于C、B，
∴∠ACO=∠ABO=90°，∠CAO=∠BAO，
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°，∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°，
∴∠COA=∠BOA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC，
∴2∠ODC=2∠AOB，
即∠D=∠AOB，
∴CD∥AO．

（2）解：
连接BC，
∵BD是⊙O直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∵∠D=∠AOB，
∴△BCD∽△ABO，
∴

DC

DB

=

BO

AO

，
∴CD·AO=DB·BO=6×3=18．


（3）解：∵CD·AO=18，AO=2CD，
∴CD=3，
∵OC=3=OD=3，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠COB=120°，
∴弧BC的长是

120π·3

180

=2π．