试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AB=6，求DE的长．
答案
（1）证明：连接OD．CD，则OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，青果学院
∴AD=BD，
∵BC是直径，
∴CD⊥AB，
∴BC=AC，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形；

（2）解：在直角△ADE中，∠A=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵BC是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，
∴AD=CD=
1
2
AB=3，
∴DE=AD·sin60°=3×
3
2
=
3
3
2
．
（1）证明：连接OD．CD，则OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，青果学院
∴AD=BD，
∵BC是直径，
∴CD⊥AB，
∴BC=AC，
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形；

（2）解：在直角△ADE中，∠A=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵BC是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，
∴AD=CD=
1
2
AB=3，
∴DE=AD·sin60°=3×
3
2
=
3
3
2
．
考点梳理
切线的性质；等边三角形的判定与性质．
（1）连接OD，根据平行线分线段成比例定理，以及圆周角定理，即可证明CD是AB的中垂线，即可证得BC=AC，进而即可证得；
（2）在直角△ADE中，利用等边三角形的性质即可求得AD，根据：△ABC是等边三角形，即可求得半径，从而求解．
本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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