试题

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED⊥AB，交AB于点H，交AC于点F．过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）求证：PC=PF；
（2）在劣弧AC上有一点D，满足AD²=DE·DF，连接DB．若tan∠DBA=

1

2

，AH=4，求HF的长度．

解：（1）连接BC，
∵AB、AC分别是⊙O的直径和弦，弦ED⊥AB，
∴∠BCA=90°，∠PCA=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFA，
∵∠PFC=∠HFA，
∴∠CBA=∠PFC，
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF，

（2）连接BD，AE，
∵AB为直径，
∴BD⊥AD，
∵DE⊥AB，
∴AD²=AH·AB，
∵tan∠DBA=

1

2

，
∴AD：BD=1：2，
∵AH=4，
∴AD=4

5

，
∴DH=8，
∴DE=16，
∵AD²=DE·DF，
∴DF=5，
∵

AD

DE

=

DF

AD

，∠ADF=∠EDA，
∴△FDA∽△ADE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴△FDA也为等腰三角形，
∴DF=AF=5，
∴HF=3．
解：（1）连接BC，
∵AB、AC分别是⊙O的直径和弦，弦ED⊥AB，
∴∠BCA=90°，∠PCA=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFA，
∵∠PFC=∠HFA，
∴∠CBA=∠PFC，
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF，

（2）连接BD，AE，
∵AB为直径，
∴BD⊥AD，
∵DE⊥AB，
∴AD²=AH·AB，
∵tan∠DBA=

1

2

，
∴AD：BD=1：2，
∵AH=4，
∴AD=4

5

，
∴DH=8，
∴DE=16，
∵AD²=DE·DF，
∴DF=5，
∵

AD

DE

=

DF

AD

，∠ADF=∠EDA，
∴△FDA∽△ADE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴△FDA也为等腰三角形，
∴DF=AF=5，
∴HF=3．