试题

题目：
青果学院如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半径为1，则AE的长为（　　）



答案
B
青果学院解：作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBH中，OH=
1
2
OB=
1
2
，
∴BH=
3
OH=
3
2
，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=
3
，
∴AB=
3
，
∵BD切⊙O于B，
∴OB⊥DB，
而AD⊥BD，OH⊥BC，
∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF，
∴四边形BDFO为矩形，
∴DF=OB=1，
设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，
∵BD⊙O的切线，
∴BD2=DE·DA=（1-x）（1+x）=1-x2，
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴（1+x）2+1-x2=（
3
）2，解得x=
1
2
，
∴AE=2x=1．
故选B．
考点梳理
切线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，根据等边三角形的性质得∠BOC=120°，则∠OBC=30°，可计算得OH=
1
2
，BH=
3
2
，再根据垂径定理得BC=2BH=
3
；然后根据切线的性质得OB⊥DB，易判断四边形BDFO为矩形，则DF=OB=1，设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，接着根据切割线定理得到
BD2=1-x2，然后在Rt△ABD中利用根据定理可得到（1+x）2+1-x2=（
3
）2，解得x=
1
2
，由此得到AE=2x=1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、切割线定理和等边三角形性质．
计算题．
找相似题