试题

如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）试判断直线AD与CD的位置关系，并说明理由；
（2）连接BC，若AD=2，AC=

5

，求△ABC的面积．

解：（1）连接OC，则OC⊥CD；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
∵OC⊥CD，
∴AD⊥CD；

（2）连接BC，那么∠ACB=90°，
在直角三角形ADC中，AD=2，AC=

5

，根据勾股定理可得：CD=1；
由（1）知：∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=DC：BC，
∴BC=DC·AC÷AD=

5

2

，
∴三角形ACB的面积=

1

2

·BC·AC=

5

4

．
解：（1）连接OC，则OC⊥CD；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
∵OC⊥CD，
∴AD⊥CD；

（2）连接BC，那么∠ACB=90°，
在直角三角形ADC中，AD=2，AC=

5

，根据勾股定理可得：CD=1；
由（1）知：∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=DC：BC，
∴BC=DC·AC÷AD=

5

2

，
∴三角形ACB的面积=

1

2

·BC·AC=

5

4

．