试题

题目：
青果学院如图，AB是圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，过点B作圆O的切线交CD于E，己知∠CDB=∠CAD，AB=CD=2，
（1）△CDB∽△CAD吗？请说明理由；
（2）求CB的长；
（3）求CE的长（选作不计入总分）．
答案
解：（1）△CDB∽△CAD．
理由：∵∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，
∴△CDB∽△CAD；

青果学院（2）设BC=x，
∵AB=CD=2，
∴CA=x+2，
∵△CDB∽△CAD，
∴CD：CA=CB：AD，
即CD2=CB·CA，
∴4=x（x+2），
解得：x=-1±
5
（负值不合题意，舍去），
∴BC=-1+
5
．

（3）连接OD，
∵BE是⊙O的切线，CD切圆O于D，
∴OB⊥BE，OD⊥CD，
∴∠CBE=∠CDO=90°，
∵∠C是公共角，
∴△OCD∽△ECB，
∴
CE
OC
=
BC
CD
，
∴CE=
OC·BC
CD
=
(1-1+
5
)×(-1+
5
)
2
=
5-
5
2
．
解：（1）△CDB∽△CAD．
理由：∵∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，
∴△CDB∽△CAD；

青果学院（2）设BC=x，
∵AB=CD=2，
∴CA=x+2，
∵△CDB∽△CAD，
∴CD：CA=CB：AD，
即CD2=CB·CA，
∴4=x（x+2），
解得：x=-1±
5
（负值不合题意，舍去），
∴BC=-1+
5
．

（3）连接OD，
∵BE是⊙O的切线，CD切圆O于D，
∴OB⊥BE，OD⊥CD，
∴∠CBE=∠CDO=90°，
∵∠C是公共角，
∴△OCD∽△ECB，
∴
CE
OC
=
BC
CD
，
∴CE=
OC·BC
CD
=
(1-1+
5
)×(-1+
5
)
2
=
5-
5
2
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（!）由∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△CDB∽△CAD；
（2）由△CDB∽△CAD，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程4=x（x+2），解此方程即可求得答案；
（3）首先连接OD，易证得△OCD∽△ECB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
压轴题．
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