试题

题目：
如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB∥DC，点E为垂足，已知⊙O的半径为6，青果学院
（1）若OE=4，求弦AB的长；
（2）若DC=6
3
，求劣弧AB的长．
答案
解：（1）∵CD为圆O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，又AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在Rt△OEB中，OE=4，OB=6，
根据勾股定理得：EB=
OB2-OE2
=2
5
，
又OE⊥AB，
∴E为弦AB的中点，
则AB=2BE=4
5
；
（2）由∠ODC=90°，得到△OCD为直角三角形，
∵DC=6
3
，OD=6，
∴tan∠COD=
CD
OD
=
6
3
6
=
3
，
∴∠COD=60°，
又OE⊥AB，
∴D为
AB
的中点，即
AD
=
BD
=
60π×6
180
=2π，
则
AB
=2
BD
=4π．
解：（1）∵CD为圆O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，又AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在Rt△OEB中，OE=4，OB=6，
根据勾股定理得：EB=
OB2-OE2
=2
5
，
又OE⊥AB，
∴E为弦AB的中点，
则AB=2BE=4
5
；
（2）由∠ODC=90°，得到△OCD为直角三角形，
∵DC=6
3
，OD=6，
∴tan∠COD=
CD
OD
=
6
3
6
=
3
，
∴∠COD=60°，
又OE⊥AB，
∴D为
AB
的中点，即
AD
=
BD
=
60π×6
180
=2π，
则
AB
=2
BD
=4π．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；垂径定理；弧长的计算．
（1）由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到CD与OD垂直，又AB与DC平行，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直可得OE与AB垂直，根据垂径定理可得E为AB的中点，即AB=2EB，在直角三角形OEB中，由OE及OB的长，利用勾股定理求出EB的长，可得出AB的长；
（2）由DC与OD垂直，可得三角形ODC为直角三角形，在直角三角形ODC中，由DC及OD的长，利用锐角三角函数定义表示出∠COD的正切值，利用特殊角的三角函数值求出∠COD的度数，然后利用弧长公式求出弧BD的长，又OE与AB垂直，根据垂径定理得到D为劣弧AB的中点，可得出弧AB的长等于弧BD长的2倍．
此题考查了切线的性质，平行线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，以及弧长公式，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
计算题．
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