试题

如图，△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，sin∠CBF=

5

4

，求BC的长．

（1）证明：设∠CBF=α，∠BAC=2α，BF是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°-α，
∴∠ACB=180°-2α-90°+α=90°-α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
即sin∠BAE=sin∠CBF=

5

4

，
∵在△ABE中，sin∠BAE=

BE

AB

，
∴BE=AB×sin∠BAE=4×

5

4

=

5

∴BC=2BE=2

5

．
（1）证明：设∠CBF=α，∠BAC=2α，BF是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°-α，
∴∠ACB=180°-2α-90°+α=90°-α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
即sin∠BAE=sin∠CBF=

5

4

，
∵在△ABE中，sin∠BAE=

BE

AB

，
∴BE=AB×sin∠BAE=4×

5

4

=

5

∴BC=2BE=2

5

．