试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC、BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为2，∠A=60°，求CE的长．
答案
（1）证明：
∵CD是⊙O的切线，切点为C，青果学院
∴OC⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∴AC=2，
∴BC=
AB2-AC2
=2
3
，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴CE=
1
2
BC=
3
．
（1）证明：
∵CD是⊙O的切线，切点为C，青果学院
∴OC⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∴AC=2，
∴BC=
AB2-AC2
=2
3
，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴CE=
1
2
BC=
3
．
考点梳理
切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件证明BE∥OC，进而得到内错角相等，再利用圆的半径相等得到相等的角即可证明BC平分∠ABE；
（2）由圆周角定理可知∠ACB=90°，所以∠ABC=30°，由（1）可知∠CBE=30°，利用勾股定理和在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CE的长．
本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、切线及圆周角的性质定理，本题综合性较强，熟记且能运用是解答的关键．
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