试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，则图中阴影部分面积S阴=（　　）



答案
D
青果学院解：连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，
∵以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
即∠ADO=∠AEO=90°，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠DOM+∠EON=90°，
设OE=x，则AE=AD=OD=x，EC=AC-AE=4-x，
∵△COE∽△CBA，
∴
CE
CA
=
OE
AB
，
即
4-x
4
=
x
3
，
解得：x=
12
7
，
∴S阴影=S△ABC-S正方形ADOE-（S扇形DOM+S扇形EON）
=
1
2
×3×4-（
12
7
）2-
90×π×(
12
7
)2
360

=
150
49
-
36
49
π．
故选D．
考点梳理
切线的性质；扇形面积的计算．
首先连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，易得四边形ADOE是正方形，即可得∠DOM+∠EON=90°，然后设OE=x，由△COE∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，继而由S阴影=S△ABC-S正方形ADOE-（S扇形DOM+S扇形EON）求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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