试题

（2011·珠海）已知：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是

BC

上的一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE．

证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥BC，
∴OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE；

（2）由（1）得

AB

AD

=

AD

AE

，
即AD²=AB·AE，
设在△ABE中，AE边上的高为h，则S_△ABE=

1

2

h·AE，
∵三角形ABC为锐角△，∴h＜AB，
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形，
∴S_△ADF=

1

2

×AD×AF=

1

2

AD²
∴

1

2

AD²=

1

2

AE×AB．
∵h＜AB．
∴S_△DAF＞S_△BAE．
证明：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥BC，
∴OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE；

（2）由（1）得

AB

AD

=

AD

AE

，
即AD²=AB·AE，
设在△ABE中，AE边上的高为h，则S_△ABE=

1

2

h·AE，
∵三角形ABC为锐角△，∴h＜AB，
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形，
∴S_△ADF=

1

2

×AD×AF=

1

2

AD²
∴

1

2

AD²=

1

2

AE×AB．
∵h＜AB．
∴S_△DAF＞S_△BAE．