试题

（2010·厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，AE=

3

（1）求

EF

的长；
（2）若AD=

3

+5，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=

3

∴

EF

的长=

90π× 3

180

=

3

2

π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M₁N₁，切点为R，交AD于M₁，交BC于N₁，
连接OM₁、OR，
∵M₁N₁∥MN
∴∠DM₁N₁=∠DMN=60°
∴∠EM₁N₁=120°
∵MA、M₁N₁切⊙O于点E、R
∴∠EM₁O=

1

2

∠EM₁N₁=60°
在Rt△EM₁O中，EM₁=

OE

tan∠EM1O

=

3

tan60°

=1
∴DM₁=AD-AE-EM₁=

3

+5-

3

-1=4．
过点D作DK⊥M₁N₁于K
在Rt△DM₁K中
DK=DM₁×sin∠DM₁K=4×sin∠60°=2

3

即d=2

3

，
∴当d=2

3

时，直线MN与⊙O相切，
当1≤d＜2

3

时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心O时，记为M₂N₂，点D到M₂N₂的距离d=DK+OR=2

3

+

3

=3

3

＞4，
∴当2

3

＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．
解：（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四边形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=

3

∴

EF

的长=

90π× 3

180

=

3

2

π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M₁N₁，切点为R，交AD于M₁，交BC于N₁，
连接OM₁、OR，
∵M₁N₁∥MN
∴∠DM₁N₁=∠DMN=60°
∴∠EM₁N₁=120°
∵MA、M₁N₁切⊙O于点E、R
∴∠EM₁O=

1

2

∠EM₁N₁=60°
在Rt△EM₁O中，EM₁=

OE

tan∠EM1O

=

3

tan60°

=1
∴DM₁=AD-AE-EM₁=

3

+5-

3

-1=4．
过点D作DK⊥M₁N₁于K
在Rt△DM₁K中
DK=DM₁×sin∠DM₁K=4×sin∠60°=2

3

即d=2

3

，
∴当d=2

3

时，直线MN与⊙O相切，
当1≤d＜2

3

时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心O时，记为M₂N₂，点D到M₂N₂的距离d=DK+OR=2

3

+

3

=3

3

＞4，
∴当2

3

＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．