试题

题目：
青果学院（2011·广元）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：
BD
BE
=
CD
BC
；
（3）若BC=
3
2
AB，求tan∠CDF的值．
答案
（1）解：∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
BD
BE
=
CD
BC
，

（3）解：∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=
3
2
AB，
∴
BC
AB
=
3
2
，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=
10
x，
∴CD=（
10
-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴
CD
BC
=
DF
BD
=
(
10
-1)x
3x
=
10
-1
3
，
∵tan∠DBF=
DF
BD
=
10
-1
3
，
∴tan∠CDF=
10
-1
3
．
（1）解：∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
BD
BE
=
CD
BC
，

（3）解：∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=
3
2
AB，
∴
BC
AB
=
3
2
，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=
10
x，
∴CD=（
10
-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴
CD
BC
=
DF
BD
=
(
10
-1)x
3x
=
10
-1
3
，
∵tan∠DBF=
DF
BD
=
10
-1
3
，
∴tan∠CDF=
10
-1
3
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；
（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；
（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．
本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于：（1）熟练运用圆周角定理，切线的性质；（2）根据（1）的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC；（3）关键在于通过求证△DCF∽△BCD，根据对应边成比例的性质求出tan∠DBF的值．
几何综合题；压轴题．
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