试题

（2011·宜昌）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

解：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；
②分别以G、H为圆心，以大于

1

2

GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；
③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．

（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁（不为∠ABC的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，当BP₁＞BO时，P₁Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，这时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=

5

，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（

5

-2）²，
∴x=2

5

-4；
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）²=y²+（

5

-1）²，
∴y=

5 -1

2

；
③如图4，同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，∴PF：BE=AF：PE，
∴

z

2-z

=

1-z

z

，
∴z=

2

3

．
由①、②、③可知，

2

3

＞

5 -1

2

＞2

5

-4，
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的最大值为

4

9

π．
解：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；
②分别以G、H为圆心，以大于

1

2

GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；
③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．

（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁（不为∠ABC的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，当BP₁＞BO时，P₁Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，这时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=

5

，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（

5

-2）²，
∴x=2

5

-4；
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）²=y²+（

5

-1）²，
∴y=

5 -1

2

；
③如图4，同理可得，当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，
∵△APF∽△PBE，∴PF：BE=AF：PE，
∴

z

2-z

=

1-z

z

，
∴z=

2

3

．
由①、②、③可知，

2

3

＞

5 -1

2

＞2

5

-4，
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的最大值为

4

9

π．