试题

题目：
（2009·莆田）已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点青果学院F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①
，②
，③
，④
（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）∠A=30°，CD=
2
3
3
，求⊙O的半径r．
答案




青果学院解：（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=
1
2
AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=
2
3
3
，
∴
BD
DC
=
r
2
3
3
=tan60°，
∴r=2．
考点梳理
切线的性质；直角三角形全等的判定；圆周角定理．
（1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=2．
本题利用了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
几何综合题；压轴题．
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