试题

题目：
（2009·梧州）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且青果学院AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．
答案
青果学院（1）证明：连接OC．               （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．                   （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．                       （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．                  （4分）
∴
DC
=
BC
．
∴DC=BC．                        （5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=
AB2-AC2
=
52-42
=3．  （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．                 （7分）
∴
EC
BC
=
AC
AB
．
∴
EC
3
=
4
5
EC=
12
5
．              （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=
DC2-CE2
=
32-(
12
5
)2
=
9
5
．（9分）
∴tan∠DCE=
ED
EC
=
9
5
12
5
=
3
4
．            （10分）
青果学院（1）证明：连接OC．               （1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．                   （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．                       （3分）
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．                  （4分）
∴
DC
=
BC
．
∴DC=BC．                        （5分）

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=
AB2-AC2
=
52-42
=3．  （6分）
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．                 （7分）
∴
EC
BC
=
AC
AB
．
∴
EC
3
=
4
5
EC=
12
5
．              （8分）
∵DC=BC=3，
∴ED=
DC2-CE2
=
32-(
12
5
)2
=
9
5
．（9分）
∴tan∠DCE=
ED
EC
=
9
5
12
5
=
3
4
．            （10分）
考点梳理
锐角三角函数的定义；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC，求证DC=BC可以证明∠CAD=∠BAC，进而证明
DC
=
BC
；
（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证△ACE∽△ABC，则∠DCE=∠BAC，则tan∠DCE的值等于tan∠BAC，在直角△ABC中根据三角函数的定义就可以求出．
证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等，并且本题考查了三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关．
几何综合题；压轴题．
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