试题

（2013·鞍山）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC=2，AO=

5

，求OD的长度．

解：（1）AC=CD，理由为：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
则AC=CD；

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=

5

，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（

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）²，
解得：OD=1．
解：（1）AC=CD，理由为：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
则AC=CD；

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=

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，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（

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）²，
解得：OD=1．