试题

题目：
青果学院（2013·莆田）如图，·ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
AE=DC
DE=AC
AD=DA
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，青果学院
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°，
∴S阴影=
60
360
×π×22=
2
3
π．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
AE=DC
DE=AC
AD=DA
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，青果学院
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°，
∴S阴影=
60
360
×π×22=
2
3
π．
考点梳理
切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．
（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．
此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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