试题

（2013·曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且

AC

=

CD

=

DB

．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．
（1）求证：DF⊥AF．
（2）求OG的长．

解：（1）连接BD，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵

AC

=

CD

，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=

1

2

BD=

5

2

．
解：（1）连接BD，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵

AC

=

CD

，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=

1

2

BD=

5

2

．