试题

题目：
青果学院（2013·襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
答案
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；

（2）解：在Rt△ACB中，AB=
AC2+BC2
=10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=
AB
2
=
10
2
=5
2
，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=
AC
2
=
6
2
=3
2
，
在Rt△AED中，DE=
AD2-AE2
=
(5
2
)2-(3
2
)2
=4
2
，青果学院
∴CD=CE+DE=3
2
+4
2
=7
2
，
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴
PD
PC
=
PA
PD
=
AD
CD
=
5
2
7
2
，
∴PA=
5
7
PD，PC=
7
5
PD，
而PC=PA+AC，
∴
5
7
PD+6=
7
5
PD，
∴PD=
35
4
．
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB为等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；

（2）解：在Rt△ACB中，AB=
AC2+BC2
=10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=
AB
2
=
10
2
=5
2
，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=
AC
2
=
6
2
=3
2
，
在Rt△AED中，DE=
AD2-AE2
=
(5
2
)2-(3
2
)2
=4
2
，青果学院
∴CD=CE+DE=3
2
+4
2
=7
2
，
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴
PD
PC
=
PA
PD
=
AD
CD
=
5
2
7
2
，
∴PA=
5
7
PD，PC=
7
5
PD，
而PC=PA+AC，
∴
5
7
PD+6=
7
5
PD，
∴PD=
35
4
．
考点梳理
切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD=
AB
2
=5
2
；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE=
AC
2
=3
2
，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4
2
，则CD=7
2
，易证得∴△PDA∽△PCD，得到
PD
PC
=
PA
PD
=
AD
CD
=
5
2
7
2
，所以PA=
5
7
PD，PC=
7
5
PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．
证明题；压轴题．
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