试题

（2007·临汾）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接OB，OC，在⊙O外作∠BAD=∠BAO，AD交OB的延长线于点D．
（1）在图中找出一对全等三角形，并进行证明；
（2）如果⊙O的半径为3，sin∠OAC=

1

2

，试求切线AC的长；
（3）试说明：△ABD分别是由△ABO，△ACO经过哪种变换得到的．（直接写出结果）

解：（1）在△ACO与△ABO中，
∵OC=OB，∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BAO=∠CAO，OA为公共边．
∴△ACO≌△ABO．

（2）∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC；
在Rt△ACO中，
∵sin∠OAC=

1

2

，
∴

OC

OA

=

1

2

．
∵OC=3，
∴AO=6．
∴AC=

AO2-OC2

=

62-32

=3

3

．

（3）△ABD是由△ABO沿直线AB折叠得到（或△ABD与△ABO关于直线AB对称），
△ABD是由△ACO绕A点顺时针方向旋转∠CAB（或∠OAD）而得到．
解：（1）在△ACO与△ABO中，
∵OC=OB，∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BAO=∠CAO，OA为公共边．
∴△ACO≌△ABO．

（2）∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC；
在Rt△ACO中，
∵sin∠OAC=

1

2

，
∴

OC

OA

=

1

2

．
∵OC=3，
∴AO=6．
∴AC=

AO2-OC2

=

62-32

=3

3

．

（3）△ABD是由△ABO沿直线AB折叠得到（或△ABD与△ABO关于直线AB对称），
△ABD是由△ACO绕A点顺时针方向旋转∠CAB（或∠OAD）而得到．