试题

题目：
青果学院（2008·临沂）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．
①求⊙O的半径；
②求sin∠BOC的值．
答案
青果学院解：（1）连接OD，OE，设OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S△AOC+S△BOC=S△ABC
∴
1
2
AC·OD+
1
2
BC·OE=
1
2
AC·BC
即
1
2
×4r+
1
2
×2r=
1
2
×4×2，
∴r=
4
3
．
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，
在Rt△ABC与Rt△OEC中
AB=
42+22
=2
5
，OC=
(
4
3
)2+(
4
3
)2
=
4
3
2

∵
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CF
∴CF=
AC·BC
AB
=
4
5
5

∴sin∠BOC=
CF
OC
=
4
5
5
×
3
4
2
=
3
10
10

即sin∠BOC=
3
10
10
．
青果学院解：（1）连接OD，OE，设OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S△AOC+S△BOC=S△ABC
∴
1
2
AC·OD+
1
2
BC·OE=
1
2
AC·BC
即
1
2
×4r+
1
2
×2r=
1
2
×4×2，
∴r=
4
3
．
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，
在Rt△ABC与Rt△OEC中
AB=
42+22
=2
5
，OC=
(
4
3
)2+(
4
3
)2
=
4
3
2

∵
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CF
∴CF=
AC·BC
AB
=
4
5
5

∴sin∠BOC=
CF
OC
=
4
5
5
×
3
4
2
=
3
10
10

即sin∠BOC=
3
10
10
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
（1）连接OD，OE，根据S△AOC+S△BOC=S△ABC，即
1
2
AC·OD+
1
2
BC·OE=
1
2
AC·BC即可求解；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC与Rt△OEC中，根据勾股定理求出AB，OC，根据三角形ABC的面积等于
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CF，就可以求出CF的值，就可以求出sin∠BOC的值．
本题考查的是切线性质的实际应用，运用切线的性质可证明四边形ODCE正方形．根据三角形的面积的公式就可以求解．
综合题．
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