试题

如图，D是线段AB上的一点，BD=2AD=4，以BD为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线，切点为E，过点B作BC⊥AE于C交半圆于F，连接EF．有下列四个结论：
①∠A=30°；②BF=3CF；③

DE

=

EF

；④EF∥AB．
其中正确的结论是．

解：①如图，连接OE．
∵AE是切线，
∴AE⊥OE，即∠AEO=90°．
∵BD=2AD=4，
∴OE=OD=2，
∴AO=AD+OD=2OE，
∴∠A=30°；
故①正确；

②如图，连接DF．
∵BD是直径，∴DF⊥EF．
又∵AC⊥BC，
∴AC∥DF，
∴

BF

BC

=

BD

BA

，由比例的性质得到

BF

CF

=

BD

DA

=2，即BF=2CF．故②错误；

③如图，假设DF交OE于点G．
∵AC∥DF，AE⊥OE，
∴DF⊥OE，
∴DG=FG，
∴

DE

=

EF

．
故③正确；

④如图，连接DE．
∵

DE

=

EF

．
∴∠EDF=∠EFD．
又∵AC是切线，
∴∠CEF=∠EDF，
∴∠CEF=∠EFD，
∴EF∥AB．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．