试题

如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，BP=2，AP=2

3

cm，求图中阴影部分的周长和面积（结果保留π）．

解：连接OA，由AP为圆O的切线，得到OA⊥AP，
设OA=OB=xcm，则OP=OB+BP=（x+2）cm，AP=2

3

cm，
根据勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OA=OB=2，
∴OP=2+2=4cm，
∵Rt△AOP中，OA=

1

2

OP，
∴∠P=30°，
∴∠AOB=60°，
∴

AB

的长为

60π×2

180

=

2π

3

，S_扇形AOB=

60π×4

360

=

2π

3

，
则阴影部分的周长为

2π

3

+2

3

+2（cm），面积为S_△AOP-S_扇形AOB=

1

2

×2×2

3

-

2π

3

=2

3

-

2π

3

（cm²）．
解：连接OA，由AP为圆O的切线，得到OA⊥AP，
设OA=OB=xcm，则OP=OB+BP=（x+2）cm，AP=2

3

cm，
根据勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OA=OB=2，
∴OP=2+2=4cm，
∵Rt△AOP中，OA=

1

2

OP，
∴∠P=30°，
∴∠AOB=60°，
∴

AB

的长为

60π×2

180

=

2π

3

，S_扇形AOB=

60π×4

360

=

2π

3

，
则阴影部分的周长为

2π

3

+2

3

+2（cm），面积为S_△AOP-S_扇形AOB=

1

2

×2×2

3

-

2π

3

=2

3

-

2π

3

（cm²）．