试题

如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的线段，PA=10，PB=5，
求：（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）；
（2）cos∠BAP的值．

解：（1）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠APB=∠CPA，
∴△ABP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

BP

AP

，即AP²=BP·CP，
又PA=10，PB=5，
∴10²=5CP，即CP=20，
∴BC=CP-BP=20-5=15，
∴圆的半径OB=

15

2

，
则圆O的面积为π·（

15

2

）²=

225π

4

；
（2）∵△ABP∽△CAP，PA=10，CP=20，
∴

AP

CP

=

AB

CA

=

1

2

，
设AB=k，则CA=2k，
又CB为圆O的直径，∴∠CAB=90°，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：k²+（2k）²=15²，
解得：k=3

5

，
∴AC=6

5

，
∵∠PAB=∠C，
∴cos∠PAB=cosC=

AC

BC

=

6 5

15

=

2 5

5

．
解：（1）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠APB=∠CPA，
∴△ABP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

BP

AP

，即AP²=BP·CP，
又PA=10，PB=5，
∴10²=5CP，即CP=20，
∴BC=CP-BP=20-5=15，
∴圆的半径OB=

15

2

，
则圆O的面积为π·（

15

2

）²=

225π

4

；
（2）∵△ABP∽△CAP，PA=10，CP=20，
∴

AP

CP

=

AB

CA

=

1

2

，
设AB=k，则CA=2k，
又CB为圆O的直径，∴∠CAB=90°，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：k²+（2k）²=15²，
解得：k=3

5

，
∴AC=6

5

，
∵∠PAB=∠C，
∴cos∠PAB=cosC=

AC

BC

=

6 5

15

=

2 5

5

．