试题

如图，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．若KG²=KD·GE，sinE=

3

5

，AK=2

5

，FG长度是（　　）
A．

25 2

8

B．

25 2

4

C．

5 2

8

D．

25 2

2

A
解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
连接GD，如答图2所示．
∵KG²=KD·GE，即

KG

GE

=

KD

KG

，
又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=

3

5

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，解得t=

2

．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25 2

6

．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

25 2

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

=

25 2 6

4 3

=

25 2

8

．
故选A．