试题

题目：
青果学院已知如图，AB是⊙O直径，∠C的两边分别与⊙O相切于A、D两点．DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分面积（　　）



答案
D
青果学院解：连OD，过D作DF⊥AC于F，如图，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=4，
∴OA=OD=2，OE=3-2=1，
在Rt△ODE中，OD=2OE，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOE=60°，DE=
3
OE=
3
，
∴∠DOA=120°，
又∵CD，CA为⊙O的切线，
∴∠CAE=∠CDO=90°，
∴∠C=180°-∠DOA=60°，
而DF=EA=3，
在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，
∴CF=
DF
3
=
3
，
∴S阴影部分=S梯形AEDC-S△ODE-S扇形ODA=
1
2
（
3
+2
3
）·3-
1
2
·
3
·1-
120·π·22
360

=4
3
-
4
3
π．
故选D．
考点梳理
扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；垂径定理；切线的性质．
连OD，过D作DF⊥AC于F，由AE=3，BE=1，得到半径OA=OD=2，则OE=3-2=1；在Rt△ODE中，得到∠ODE=30°，则∠DOE=60°，DE=
3
OE=
3
，所以∠DOA=120°．再根据切线的性质得到∠CAE=∠CDO=90°，则∠C=180°-∠DOA=60°，在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，可求出CF，最后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形AEDC-S△ODE-S扇形ODA进行计算即可．
本题考查了扇形的面积公式：S=
n·π·R2
360
；也考查了含30度的直角三角形三边的关系、切线的性质以及梯形的面积公式．
计算题；压轴题．
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