试题

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆（不含点A、B）上的一个动点，过C点的切线与AB的延长线交于点P．
（1）试探求∠A与∠P的数量关系；
（2）当∠PCB=30°时，证明：BP=

1

2

AB；
（3）如果过点C的切线与AB的反向延长线相交，这时∠A的取值范围是多少？

（1）解：∵CP是半圆O的切线，
∴∠PCB=∠A，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ABC=90°-∠A，
又∵∠ABC=∠P+∠PCB=∠P+∠A，
∴90°-∠A=∠P+∠A，
整理得，2∠A+∠P=90°；

（2）证明：∵∠PCB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠P=90°-2∠A=90°-2×30°=30°，
∴∠P=∠PCB，
∴BP=BC，
在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=

1

2

AB，
∴BP=

1

2

AB；

（3）解：过点C的切线与AB的反向延长线相交，则点C位于弧AB的中点左侧，
∴∠A＞∠ABC，
∴∠A＞

1

2

×90°=45°，
又∠A是Rt△ABC的锐角，
∴∠A的取值范围是45°＜∠A＜90°．
（1）解：∵CP是半圆O的切线，
∴∠PCB=∠A，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ABC=90°-∠A，
又∵∠ABC=∠P+∠PCB=∠P+∠A，
∴90°-∠A=∠P+∠A，
整理得，2∠A+∠P=90°；

（2）证明：∵∠PCB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠P=90°-2∠A=90°-2×30°=30°，
∴∠P=∠PCB，
∴BP=BC，
在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=

1

2

AB，
∴BP=

1

2

AB；

（3）解：过点C的切线与AB的反向延长线相交，则点C位于弧AB的中点左侧，
∴∠A＞∠ABC，
∴∠A＞

1

2

×90°=45°，
又∠A是Rt△ABC的锐角，
∴∠A的取值范围是45°＜∠A＜90°．