试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠ACB=90゜，AC=6，BC=8，O为BC上一点，以D为圆心OC为半径作圆与AB切于D．
（1）求BD的长； 
（2）求⊙O的半径．
答案
青果学院解：（1）连接OD，
∵△ABC中，∠ACB=90゜，AC=6，BC=8，
∴AB=
AC2+BC2
=10，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOD∽△BAC，
∴
OB
AB
=
OD
AC
，
设OD=x，则OC=x，
∴OB=BC-OC=8-x，
∴
8-x
10
=
x
6
，
解得：x=3，
∴OC=OD=3，OB=5，
∴BD=
OB2-OD2
=4；

（2）∵OC=3，
∴⊙O的半径为3．
青果学院解：（1）连接OD，
∵△ABC中，∠ACB=90゜，AC=6，BC=8，
∴AB=
AC2+BC2
=10，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOD∽△BAC，
∴
OB
AB
=
OD
AC
，
设OD=x，则OC=x，
∴OB=BC-OC=8-x，
∴
8-x
10
=
x
6
，
解得：x=3，
∴OC=OD=3，OB=5，
∴BD=
OB2-OD2
=4；

（2）∵OC=3，
∴⊙O的半径为3．
考点梳理
切线的性质．
（1）首先连接OD，易证得△BOD∽△BAC，然后设OD=x，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得OC的长，然后由勾股定理求得BD的长；
（2）由（1），即可求得⊙O的半径．
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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