试题

题目：
如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，青果学院交线段AD的延长线于点F．
（1）设
AD
是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是
0＜x＜90
0＜x＜90
；
（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．
答案
0＜x＜90

解：（1）0＜x＜90，
（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得
BF
AB
=
BD
AD
，
∵∠DBE=∠DAC，
∴∠BDE=∠ADC=90°-∠ADE，
∴△BDE∽△ADC，
∴
BE
AC
=
BD
AD
，
∴
BF
AB
=
BE
AC
，
∴BE=BF．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线的性质．
可利用特殊位置即对运动变化趋势的观察，从而将不可能的情况排除，或从正面得到BE=BF的猜想．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及切线的性质，是一道综合题，有一定的难度．
综合题．
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