试题

（2011·虹口区二模）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A点的坐标为（

2

，0），点C、D分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于C、D两点，又OA=OB=AC=BD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）在y轴上是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的P点坐标（不用写出计算过程）；若不存在，请说明理由．

解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y=

m

x

（m≠O），
∵OA=OB，A（

2

，0），
∴B（0，-

2

），
∴可得：

2 k+b=0 b=- 2

，解得：

b=- 2 k=1

，
∴y=x-

2

，
作CE⊥x轴于E，则△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE=

2

sin45°=1，
∴C（1+

2

，1），
∴1=

m

1+ 2

，解得m=1+

2

，
∴y=

1+ 2

x

；

（2）存在，P点坐标分别是（0，1）或（0，2+

2

）．
解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y=

m

x

（m≠O），
∵OA=OB，A（

2

，0），
∴B（0，-

2

），
∴可得：

2 k+b=0 b=- 2

，解得：

b=- 2 k=1

，
∴y=x-

2

，
作CE⊥x轴于E，则△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE=

2

sin45°=1，
∴C（1+

2

，1），
∴1=

m

1+ 2

，解得m=1+

2

，
∴y=

1+ 2

x

；

（2）存在，P点坐标分别是（0，1）或（0，2+

2

）．