试题

（2013·重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=

k

x

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，

2

+1）．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

C
解：∵点M、N都在y=

k

x

的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC·NC=

1

2

OA·AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S_△OND=S_△OAM=

1

2

k，
而S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=

2

x，
∴OM=

2

x，
∴EM=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（

2

-1）x]²，
∴x²=2+

2

，
∴ON²=（

2

x）²=4+2

2

，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=

2

2

MN=

2

，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-

2

，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-

2

）²=4+2

2

，解得a₁=

2

+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=

2

+1，
∴C点坐标为（0，

2

+1），所以④正确．
故选C．