试题

（2011·惠安县质检）已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与边交于点E．
（1）直接写出线段AE、BF的长（用含k的代数式表示）；
（2）记△OEF的面积为S．
①求出S与k的函数关系式并写出自变量k的取值范围；
②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N上，请求出此时△OEF的面积S．

解：（1）AE=

k

2

，BF=

k

3

；

（2）①依题意得：CE=AC-AE=3-

k

2

，
CF=BC-BF=2-

k

3

，
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CEF-S_△OAE-S_△OBF
=6-

1

2

(3-

k

2

)(2-

k

3

)-

1

2

k-

1

2

k
=-

1

12

k2+3．
其中0＜k＜6．
②∵OF为⊙N的直径，
∴∠FEO=90°．
∵∠OAE=90°，
∴∠AOE+∠AEO=∠CEF+∠AEO=90°．
∴∠AOE=∠CEF．
∵∠OAE=∠C=90°．
∴△AOE∽△CEF
∴

AE

AO

=

CF

CE

，
即

k

4

=

2- k 3

3- k 2

，
整理得：-3k²+26k=48，
解得：k1=

8

3

，k₂=6（不合，舍去）．
∴当k=

8

3

时，S=-

1

12

×(

8

3

)2+3=

65

27

解：（1）AE=

k

2

，BF=

k

3

；

（2）①依题意得：CE=AC-AE=3-

k

2

，
CF=BC-BF=2-

k

3

，
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CEF-S_△OAE-S_△OBF
=6-

1

2

(3-

k

2

)(2-

k

3

)-

1

2

k-

1

2

k
=-

1

12

k2+3．
其中0＜k＜6．
②∵OF为⊙N的直径，
∴∠FEO=90°．
∵∠OAE=90°，
∴∠AOE+∠AEO=∠CEF+∠AEO=90°．
∴∠AOE=∠CEF．
∵∠OAE=∠C=90°．
∴△AOE∽△CEF
∴

AE

AO

=

CF

CE

，
即

k

4

=

2- k 3

3- k 2

，
整理得：-3k²+26k=48，
解得：k1=

8

3

，k₂=6（不合，舍去）．
∴当k=

8

3

时，S=-

1

12

×(

8

3

)2+3=

65

27