试题

（2011·无锡二模）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴，y轴交于点M，N，与反比例函数y=

k

x

的图象交于点A，B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E，过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y=

k

x

的图象的同一分支上，如图1，试证明：AN=BM．
（2）若点A，B分别在反比例函数y=

k

x

的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

解：（1）连接AD，BC，过D作DP⊥AB，过C作CQ⊥AB，
S_△ADC=

1

2

AC．DK=

1

2

x₁．y₁=

1

2

k，
S_△BDC=

1

2

BD．CK=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，即S_△ADK=S_△BCK，
∴S_△ADB=S_△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四边形PQCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．


（2）相等．
AN与BM仍然相等．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK·DK=BK·CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．
解：（1）连接AD，BC，过D作DP⊥AB，过C作CQ⊥AB，
S_△ADC=

1

2

AC．DK=

1

2

x₁．y₁=

1

2

k，
S_△BDC=

1

2

BD．CK=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，即S_△ADK=S_△BCK，
∴S_△ADB=S_△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四边形PQCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．


（2）相等．
AN与BM仍然相等．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK·DK=BK·CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．