试题

题目：
如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=-
4
x
上，直线y=kx-k（k＞0）交y轴与F．
（1）求点B、E的坐标；
（2）连接BE，CF交于M点，是否存在实数k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
青果学院
（3）F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），
OM+AN
BN
的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．
青果学院
答案
解：（1）根据题意，设B（x，-x），
∵B在y=-
4
x
的图象上，
∴x2=4，x=±2，
根据图形得B（2，-2），
∵E在X轴上，
∴kx-k=0，x=1，即E（1，0）；

（2）假设存在k，使BE⊥CF，
∵∠OCF=∠CBE∠COF=∠BCE，OC=CB
∴△OCF≌△CBE
∴OF=CE=1
∴k=1；

（3）
OM+AN
BN
=1．
证明：由已知条件易证：△OMF∽△BNA，△ANF∽△BNA，
∴
OM
BN
=
OF
AB
，
AN
BN
=
AF
AB

∴
OM+AN
BN
=
OM
BN
+
AN
BN
=
OF
AB
+
AF
AB
=
OA
AB
=1．
解：（1）根据题意，设B（x，-x），
∵B在y=-
4
x
的图象上，
∴x2=4，x=±2，
根据图形得B（2，-2），
∵E在X轴上，
∴kx-k=0，x=1，即E（1，0）；

（2）假设存在k，使BE⊥CF，
∵∠OCF=∠CBE∠COF=∠BCE，OC=CB
∴△OCF≌△CBE
∴OF=CE=1
∴k=1；

（3）
OM+AN
BN
=1．
证明：由已知条件易证：△OMF∽△BNA，△ANF∽△BNA，
∴
OM
BN
=
OF
AB
，
AN
BN
=
AF
AB

∴
OM+AN
BN
=
OM
BN
+
AN
BN
=
OF
AB
+
AF
AB
=
OA
AB
=1．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）把正方形的面积用B点坐标表示求解；
（2）用分析法求解．根据直线解析式的特点，求k只需求满足条件时OF的长；
（3）探索：
OM+AN
BN
=
OM
BN
+
AN
BN
=
OF
AB
+
AF
AB
AN
BN
，
OM
BN
=
OF
AB
，
AN
BN
=
AF
AB
，代换后得结论为1，所以不变化．
此题运用了分析法解题探究，综合性很强，检验学生自主创新能力．
开放型．
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