试题

题目：
（2012·高新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（3，0），顶点G坐标青果学院为（0，
3
）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）求过点A的反比例函数解析式；
（2）点P的坐标为
（-
3
2
，
3
2
）
（-
3
2
，
3
2
）
；在矩形OEFG绕点O逆时针旋转得到矩形OMNP的运动过程中，点F运动路径的长为
2
3
3
π
2
3
3
π
．
答案
（-
3
2
，
3
2
）

2
3
3
π

解：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
故△OGA∽△OMN，
∴
AG
MN
=
OG
OM
，
AG
3
=
3
3
，
解得：AG=1，
∴A（1，
3
），
设反比例函数y=
k
x
，把A（1，
3
）代入，得k=
3
，
即y=
3
x
；

（2）如图所示：连接OF，作PD⊥DO于点D，
∵A（1，
3
），
∴tan∠GOA=
AG
GO
=
1
3
=
3
3
，
∴∠GOA=30°，
∴∠POD=30°，
∵顶点G坐为（0，
3
），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴PO=
3
，青果学院
∴PD=
1
2
×
3
=
3
2
，DO=
3
2
，
故点P（-
3
2
，
3
2
），
∵tan∠FOE=
3
3
，
∴∠FOE=30°，
∴∠FON=60°，
∵OF=
32+(
3
)2
=2
3
，
∴l=
60π×2
3
180
=
2
3
3
π．
故答案为：P（-
3
2
，
3
2
），
2
3
3
π．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）根据相似三角形的判定得出△OGA∽△OMN，再利用相似三角形的性质得出AG的长度，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数的解析式；
（2）利用锐角三角函数关系求出∠GOA=30°，得到∠POD=30°，即可得出PD．DO的长，进而得出P点坐标，利用弧长公式求出点F运动路径的长即可．
此题主要考查了反比例函数的综合应用图形的旋转和矩形的性质，利用图形的旋转变化的性质的得出对应点的坐标是解题关键．
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