试题

（2012·海曙区模拟）如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y2=

k

x

的图象交于A，B两点，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（-

3

2

，m），连接OB．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

解：（1）过A点作AE⊥x轴于E，如图，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
设AE=a，则OE=3a，
OA=

OE2+AE2

=

(3a)2+a2

=

10

a，
而OA=

10

，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（3，1），
把A（3，1）代入y₂=

k

x

，得k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y₂=

3

x

；
把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得-

3

2

m=3，
解得m=-2，
∴B点坐标为（-

3

2

，-2），
把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得

3k+b=1 - 3 2 k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b=-1

，
∴一次函数的解析式为y₁=

2

3

x-1；

（2）∵对于y₁=

2

3

x-1，令x=0，则y=-1，
∴D点坐标为（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×3=

9

4

．
解：（1）过A点作AE⊥x轴于E，如图，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
设AE=a，则OE=3a，
OA=

OE2+AE2

=

(3a)2+a2

=

10

a，
而OA=

10

，
∴a=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（3，1），
把A（3，1）代入y₂=

k

x

，得k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y₂=

3

x

；
把B（-

3

2

，m）代入y₂=

3

x

得-

3

2

m=3，
解得m=-2，
∴B点坐标为（-

3

2

，-2），
把A（3，1）、B（-

3

2

，-2）代入y₁=ax+b得

3k+b=1 - 3 2 k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b=-1

，
∴一次函数的解析式为y₁=

2

3

x-1；

（2）∵对于y₁=

2

3

x-1，令x=0，则y=-1，
∴D点坐标为（0，-1），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×3=

9

4

．