试题

（2012·永春县质检）如图，一次函数y=

1

2

x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）P为线段AB上的点，过P作PQ∥OB交x轴于点C，交反比例函数y=

k

x

（k＞0）
的图象于点Q，已知四边形OBPQ为平行四边形，△OQC的面积为3．
①求k的值和点P的坐标；
②连接OP，将△OBP绕点O逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，点P能否落在反
比例函数y=

k

x

的图象上？请你说明理由．

解：（1）∵一次函数y=

1

2

x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴当图象与x轴相交，y=0时，0=

1

2

x-2，解得：x=4，
当图象与y轴相交，x=0时，y=-2，
故A（4，0），B（0，-2）；

（2）①∵△OQC的面积为3，∴OC×CQ=6，∴k=6，
在平行四边形OBPQ中，OB∥QP，OB=QP，OQ∥AB，
∴∠QCO=∠BOA，∠QOC=∠BAO，
∴△QCO∽△BOA，
∴

QC

OC

=

OB

OA

=

2

4

，∴OC=2QC，
∵OC×CQ=6，
∴QC=

3

OC=2

3

，
∴点P的坐标为（2

3

，

3

-2），

②在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2=19-4

3

，
作第一象限角的角平分线OD，交反比例函数y=

k

x

的图象于点D，
则OD的长是点O到反比例函数y=

k

x

的图象上各点的最短距离，
过点D作DE⊥OA于点E，
则xy=k=OE²=6，∴OD²=12，
∴OP2-OD2=19-4

3

-12=7-4

3

＞0，
∴OP＞OD，
∴旋转后点P′能在反比例函数y=

k

x

的图象上．
解：（1）∵一次函数y=

1

2

x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴当图象与x轴相交，y=0时，0=

1

2

x-2，解得：x=4，
当图象与y轴相交，x=0时，y=-2，
故A（4，0），B（0，-2）；

（2）①∵△OQC的面积为3，∴OC×CQ=6，∴k=6，
在平行四边形OBPQ中，OB∥QP，OB=QP，OQ∥AB，
∴∠QCO=∠BOA，∠QOC=∠BAO，
∴△QCO∽△BOA，
∴

QC

OC

=

OB

OA

=

2

4

，∴OC=2QC，
∵OC×CQ=6，
∴QC=

3

OC=2

3

，
∴点P的坐标为（2

3

，

3

-2），

②在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2=19-4

3

，
作第一象限角的角平分线OD，交反比例函数y=

k

x

的图象于点D，
则OD的长是点O到反比例函数y=

k

x

的图象上各点的最短距离，
过点D作DE⊥OA于点E，
则xy=k=OE²=6，∴OD²=12，
∴OP2-OD2=19-4

3

-12=7-4

3

＞0，
∴OP＞OD，
∴旋转后点P′能在反比例函数y=

k

x

的图象上．