试题

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

2

x

于点D，过点D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）请找出图形中所有的等腰直角三角形．（不必写过程）
（2）对任意的实数b（b≠0），AD·BD为定值．（直接写出答案）；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=x+b，
∴比例系数k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x轴，DE⊥y轴，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形．
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE．
∵点D在双曲线y=

2

x

上，
∴CD·DE=2，
∴AD·BD=

2

CD·

2

DE=2×2=4为定值，
定值为4；

（3）存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形．
理由如下：若四边形OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a （a＞0），
则B（0，-a），D（2a a），
∵点D在双曲线y=

2

x

上，
∴2a·a=2，
解得a₁=1，a₂=-1（舍去），
∴B（0，-1），D（2，1）
又B在y=x+b上，
∴b=-1，
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．