试题

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=

k

x

（x＞0）也恰好经过点A．
（1）求k的值；
（2）如图2，过点O作OD⊥AC于D，求CD²-AD²的值；
（3）如图3，将△AOB绕点A逆时针旋转，射线AO交x轴正半轴于点P，射线AB交（1）中双曲线上于点Q，△PAQ能否成为以A为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求点P，Q的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，
则AM=AN，
∴设A（a，a）代入y=3x-4中，a=3a-4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=

k

x

中，xy=k=4，
∴y=

4

x

；

（2）∵A（2，2），∴AO²=2²+2²=8，
又∵y=3x-4，x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴CO=4，CO²=16，
在Rt△AOD中，
AD²=OA²-OD²①，
在Rt△COD中，
CD²=OC²-OD²②，
②-①：CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8；

（3）能，
如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，
射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形；
∵∠AOP=∠ABQ=45°，OA=BA，
又∵∠OAB=∠PAQ=90°，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中

∠OAP=∠BAQ OA=AB ∠AOP=∠ABQ

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，∴△PAQ为等腰直角三角形，
此时x_Q=x_B=4，
∴y=

4

4

=1，
∴Q（4，1），
∴OP=QB=1，
∴P（1，0）．
解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，
则AM=AN，
∴设A（a，a）代入y=3x-4中，a=3a-4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=

k

x

中，xy=k=4，
∴y=

4

x

；

（2）∵A（2，2），∴AO²=2²+2²=8，
又∵y=3x-4，x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴CO=4，CO²=16，
在Rt△AOD中，
AD²=OA²-OD²①，
在Rt△COD中，
CD²=OC²-OD²②，
②-①：CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8；

（3）能，
如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，
射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形；
∵∠AOP=∠ABQ=45°，OA=BA，
又∵∠OAB=∠PAQ=90°，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中

∠OAP=∠BAQ OA=AB ∠AOP=∠ABQ

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，∴△PAQ为等腰直角三角形，
此时x_Q=x_B=4，
∴y=

4

4

=1，
∴Q（4，1），
∴OP=QB=1，
∴P（1，0）．