试题

如图，反比例函数y=

k

x

在第一象限内的图象上有点A、B，已知点A（3m，m）、点B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0），OA=2

10

．
（1）求A、B点的坐标及反比例函数解析式；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的M、N点的坐标，并画出相应的平行四边形．

解：（1）∵A（3m，m），OA=2

10

，
∴(3m)2+m2=(2

10

)2，且m＞0．
解得m=2．
∴A的坐标为（6，2）．
又∵点A在y=

k

x

的图象上，
∴k=6×2=12．
∴反比例函数解析式为y=

12

x

．
∵点B（n，n+1）（其中n＞0）在y=

12

x

的图象上，
∴n（n+1）=12．
解得n₁=3，n₂=-4（不合题意，舍去）．
∴点的坐标为B（3，4）；

（2）设M点坐标为（a，0），N点坐标为（0，b），如图．
分两种情况：
①当M点和A点相邻时．
∵M₁ABN₁是平行四边形，
∴M₁B与AN₁互相平分，即M₁B的中点与AN₁的中点重合，
∴

a+3

2

=

0+6

2

，

0+4

2

=

b+2

2

，
∴a=3，b=2，
∴M₁（3，0），N₁（0，2）；
②当M和B点相邻时．
∵N₂ABM₂是平行四边形，
∴M₂A与BN₂互相平分，即M₂A的中点与BN₂的中点重合，
∴

a+6

2

=

0+3

2

，

b+4

2

=

0+2

2

，
∴a=-3，b=-2，
∴M₂（3，0），N₂（0，-2）．
综上可知，符合条件的M、N点的坐标分别为M₁（3，0），N₁（0，2）或M₂（-3，0），N₂（0，-2）．
解：（1）∵A（3m，m），OA=2

10

，
∴(3m)2+m2=(2

10

)2，且m＞0．
解得m=2．
∴A的坐标为（6，2）．
又∵点A在y=

k

x

的图象上，
∴k=6×2=12．
∴反比例函数解析式为y=

12

x

．
∵点B（n，n+1）（其中n＞0）在y=

12

x

的图象上，
∴n（n+1）=12．
解得n₁=3，n₂=-4（不合题意，舍去）．
∴点的坐标为B（3，4）；

（2）设M点坐标为（a，0），N点坐标为（0，b），如图．
分两种情况：
①当M点和A点相邻时．
∵M₁ABN₁是平行四边形，
∴M₁B与AN₁互相平分，即M₁B的中点与AN₁的中点重合，
∴

a+3

2

=

0+6

2

，

0+4

2

=

b+2

2

，
∴a=3，b=2，
∴M₁（3，0），N₁（0，2）；
②当M和B点相邻时．
∵N₂ABM₂是平行四边形，
∴M₂A与BN₂互相平分，即M₂A的中点与BN₂的中点重合，
∴

a+6

2

=

0+3

2

，

b+4

2

=

0+2

2

，
∴a=-3，b=-2，
∴M₂（3，0），N₂（0，-2）．
综上可知，符合条件的M、N点的坐标分别为M₁（3，0），N₁（0，2）或M₂（-3，0），N₂（0，-2）．