试题

如图，在平面直角坐标系中，已知点D为函数y=

18

x

（x＞0）上 的一点，四边形ABCD是直角梯形（点B在坐标原点处），AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），点P从A出发，以3个单位/秒的速度沿直线AD向右运动，点Q从点C同时出发，以1个单位/秒的速度沿直线CB向左运动．
（1）求点D的坐标；
（2）从运动开始，经过多少时间以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？
（3）当运动时间t=

2

3

秒时，在y轴上找一点M，使得△PCM是以PC为底的等腰三角形时，请求出点M的坐标．

解：（1）∵点D的纵坐标为3，∴3=

18

x

，
∴x=6，
∴D（6，3）
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故当PD=CQ时，可得平行四边形，
∴|6-3t|=t，
则6-3t=t，或6-3t=-t．
∴t=1.5秒或3秒．
（3）当t=

2

3

s时，AP=

2

3

×3=2，P为（2，3）．
设M（0，y），则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC是以PC为底的等腰三角形
则MC=PM，则4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；
∴当M的坐标为（0，-

1

2

）
解：（1）∵点D的纵坐标为3，∴3=

18

x

，
∴x=6，
∴D（6，3）
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故当PD=CQ时，可得平行四边形，
∴|6-3t|=t，
则6-3t=t，或6-3t=-t．
∴t=1.5秒或3秒．
（3）当t=

2

3

s时，AP=

2

3

×3=2，P为（2，3）．
设M（0，y），则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC是以PC为底的等腰三角形
则MC=PM，则4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；
∴当M的坐标为（0，-

1

2

）