试题

已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：
（3）根据函数图象，求不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a-1①，2a+2k-1=b+k+2②，
∴整理②得：b=2a-1+k-2，
∴由①②得：2a-1=2a-1+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=

2

2x

=

1

x

；

（2）解方程组

y= 1 x y=2x-1

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∴A（1，1），B（-

1

2

，-2）；

（3）根据函数图象，可得出不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
即0＜x＜1或x＜-

1

2

；

（4）当AP₁⊥x轴，AP₁=OP₁，∴P₁（1，0），
当AO=OP₂，∴P₂（

2

，0），
当AO=AP₃，∴P₃（2，0），
当AO=P₄O，∴P₄（-

2

，0）．
∴存在P点P₁（1，0），P₂（

2

，0），P₃（2，0），P₄（-

2

，0）．
解：（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a-1①，2a+2k-1=b+k+2②，
∴整理②得：b=2a-1+k-2，
∴由①②得：2a-1=2a-1+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=

2

2x

=

1

x

；

（2）解方程组

y= 1 x y=2x-1

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∴A（1，1），B（-

1

2

，-2）；

（3）根据函数图象，可得出不等式

k

2x

＞2x-1的解集；
即0＜x＜1或x＜-

1

2

；

（4）当AP₁⊥x轴，AP₁=OP₁，∴P₁（1，0），
当AO=OP₂，∴P₂（

2

，0），
当AO=AP₃，∴P₃（2，0），
当AO=P₄O，∴P₄（-

2

，0）．
∴存在P点P₁（1，0），P₂（

2

，0），P₃（2，0），P₄（-

2

，0）．