试题

如图，在平面直角坐标系xoy内，点P在直线y=

1

2

x上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为点A，且OP=2

5

．
（1）求点P的坐标；  
（2）如果点M和点P都在反比例函数y=

k

x

(k≠0)图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．

解：（1）∵PA⊥x轴，垂足为点A．
∴∠PAO=90°，
∵点P在直线y=

1

2

x上（点P在第一象限），
∴设P（2x，x），其中x＞0，
∴AO=2x，PA=x，
∵AO²+AP²=OP²，
∴(2x)2+x2=(2

5

)2，
解得：x=2
∴P（4，2）；

（2）∵点P在反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象上，
∴2=

k

4

，
∴k=8，
∴y=

8

x

，
在Rt△PAO中，∠PAO=90°，PA=2，AO=4，
∵∠MNA=90°，
当△MNA和△APO全等时，分以下两种情况：
①点N在点A的左侧时，MN=AO=4，AN=2，
∴ON=OA-AN=4-2=2，
∴M（2，4）．且点M在反比例函数y=

8

x

的图象上．
②点N在点A的右侧时，AO=MN=4，AN=2，
∴ON=AN+AO=4+2=6．
∴M（6，4），但点M不在反比例函数y=

8

x

的图象上，
综合①②，满足条件的点M（2，4）．
解：（1）∵PA⊥x轴，垂足为点A．
∴∠PAO=90°，
∵点P在直线y=

1

2

x上（点P在第一象限），
∴设P（2x，x），其中x＞0，
∴AO=2x，PA=x，
∵AO²+AP²=OP²，
∴(2x)2+x2=(2

5

)2，
解得：x=2
∴P（4，2）；

（2）∵点P在反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象上，
∴2=

k

4

，
∴k=8，
∴y=

8

x

，
在Rt△PAO中，∠PAO=90°，PA=2，AO=4，
∵∠MNA=90°，
当△MNA和△APO全等时，分以下两种情况：
①点N在点A的左侧时，MN=AO=4，AN=2，
∴ON=OA-AN=4-2=2，
∴M（2，4）．且点M在反比例函数y=

8

x

的图象上．
②点N在点A的右侧时，AO=MN=4，AN=2，
∴ON=AN+AO=4+2=6．
∴M（6，4），但点M不在反比例函数y=

8

x

的图象上，
综合①②，满足条件的点M（2，4）．