如图，已知直线y=2x和双曲线y=frac{2}{x}都经过点A、B，点P（-2，a）在双曲线上．（1）求出a的值及点A、B的坐标；（2）判断△PAB的形状并说明理由；（3）双曲线-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知直线y=2x和双曲线y=

2

x

都经过点A、B，点P（-2，a）在双曲线上．
（1）求出a的值及点A、B的坐标；
（2）判断△PAB的形状并说明理由；
（3）双曲线上是否存在点Q，使△QAP是以AP为底的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵点P在反比例函数y=

2

x

上，
∴a=

2

-2

=-1，
∴P（-2，-1），
∴

y=2x

y=

2

x

，解得

x=-1

y=-2

或

x=1

y=2

，
∴A（-1，-2），B（1，2）；

（2）△PAB是直角三角形．
过点B作BH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△OBH中，OB=

OH2+BH2

=

5

，
同理可得，OP=

5

，OA=

5

，
∴OA=OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP，∠OPA=∠OAP，
∵∠OPB+∠OBP+∠OPA+∠OAP=180°，
∴∠OPB+∠OPA=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB是∠APB为直角的直角三角形；
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（3）过点O作OC⊥AP于点C，
∵由（2）知，OP=OA，
∴OC平分线段AP，即OC是AP的垂直平分线，
设BP的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

-2=-k+b

-1=-2k+b

，解得k=1，
∵BP⊥AP，
∴BP∥OC，
∴直线OC的解析式为y=x，
∴

y=x

y=

2

x

，解得

x=

2

y=

2

或

x=-

2

y=-

2

．
∴Q₁（

2

，

2

），Q₂（-

2

，-

2

）
解：（1）∵点P在反比例函数y=

2

x