试题

（2013·莆田质检）如图，一次函数y=-

1

3

x+2的图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P为线段AB上一点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=

k

y

(x＞0)的图象于点Q，且tan∠OAQ=

1

3

．连接OP、OQ，四边形OQAP的面积为6．
（1）求k的值；
（2）判断四边形OQAP的形状，并加以证明．

解：（1）连结AQ，如图，把x=0代入y=-

1

3

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

3

x+2得-

1

3

x+2=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，2），
∴tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，
∵tan∠OAQ=

1

3

，
∴∠BAO=∠OQA，
∵PQ⊥OA，
∴CP=CQ，
∵四边形OQAP的面积为6，
∴

1

2

PQ·OA=6，即

1

2

PQ·6=6，
∴PQ=2，
∴CQ=1，
在Rt△CAQ中，tan∠CAQ=

CQ

CA

=

1

3

，
∴CA=3，
∴OC=6-3=3，
∴Q点坐标为（3，-1），
把Q（3，-1）代入y=

k

x

得k=3×（-1）=-3；

（2）四边形OQAP为菱形．理由如下：
∵OC=AC=3，CP=CQ=1，
而PQ⊥AO，
∴四边形OQAP为菱形．
解：（1）连结AQ，如图，把x=0代入y=-

1

3

x+2得y=2；把y=0代入y=-

1

3

x+2得-

1

3

x+2=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，2），
∴tan∠BAO=

2

6

=

1

3

，
∵tan∠OAQ=

1

3

，
∴∠BAO=∠OQA，
∵PQ⊥OA，
∴CP=CQ，
∵四边形OQAP的面积为6，
∴

1

2

PQ·OA=6，即

1

2

PQ·6=6，
∴PQ=2，
∴CQ=1，
在Rt△CAQ中，tan∠CAQ=

CQ

CA

=

1

3

，
∴CA=3，
∴OC=6-3=3，
∴Q点坐标为（3，-1），
把Q（3，-1）代入y=

k

x

得k=3×（-1）=-3；

（2）四边形OQAP为菱形．理由如下：
∵OC=AC=3，CP=CQ=1，
而PQ⊥AO，
∴四边形OQAP为菱形．