试题

（2002·昆明）已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵a2+

k2

a2

=(a-

k

a

)2+2k（k为常数且k＞0，a≠0），
∵(a-

k

a

)2≥0
∴a2+

k2

a2

≥2k
∴当a-

k

a

=0，即a=±

k

时，a2+

k2

a2

取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；
（3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的

1

6

？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）建立如图的平面直角坐标系，
根据点A（x，y），得矩形的长是2x，宽是2y，
则有2x·2y=36，即y=

9

x

（x＞0）；

（2）连接OA，则矩形的外接圆的半径即为OA的长，根据勾股定理，得OA=

x2+y2

，
∴矩形的外接圆面积S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+(

9

x

)2=（x-

9

x

）²+18
∴当x-

9

x

=0，x=3时，即A（3，3）时S最小，其最小值是18π；

（3）存在．设AB与y轴相交于点E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-

2

m

，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3-

1

m

=6，
∴m=-

1

3

．
解：（1）建立如图的平面直角坐标系，
根据点A（x，y），得矩形的长是2x，宽是2y，
则有2x·2y=36，即y=

9

x

（x＞0）；

（2）连接OA，则矩形的外接圆的半径即为OA的长，根据勾股定理，得OA=

x2+y2

，
∴矩形的外接圆面积S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+(

9

x

)2=（x-

9

x

）²+18
∴当x-

9

x

=0，x=3时，即A（3，3）时S最小，其最小值是18π；

（3）存在．设AB与y轴相交于点E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-

2

m

，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3-

1

m

=6，
∴m=-

1

3

．