试题

（2005·梅州）如图，已知C、D是双曲线y=

m

x

在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），连接OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=

1

3

，OC=

10

．
（1）求C、D的坐标和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．

解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=

OG

CG

=

1

3

，
∴

x2

x1

=

1

3

，
即y₁=3x₁，
又∵OC=

10

，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合题意舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥x轴于H，则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=

DH

OH

=

1

3

，
∴

y2

x2

=

1

3

，
即x₂=3y₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=

3

x

交点
∵点D（3，1），
∴OD=

10

，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=

OG

CG

=

1

3

，
∴

x2

x1

=

1

3

，
即y₁=3x₁，
又∵OC=

10

，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合题意舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥x轴于H，则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=

DH

OH

=

1

3

，
∴

y2

x2

=

1

3

，
即x₂=3y₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=

3

x

交点
∵点D（3，1），
∴OD=

10

，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．